DÉRIVATION SPE MATHS
EXERCICE 2
optimisation d'un coût unitaire
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d'objets. Chaque objet est vendu 100 €.
1. Le coût de production unitaire U(x), c'est-à-dire le coût de production par objet produit est donné
par U(x) = x²-10x+900
pour x dans l'intervalle [10; 100].
x
a. Montrer que pour tout x dans l'intervalle [10; 100], U'(x) =
=
(x+30)(x-30)
b. Étudier le signe de U'(x) et en déduire les variations de la fonction U sur [10; 100].
C. Pour quelle production le coût unitaire est-il le plus bas ? Déterminer alors le bénéfice réalisé par
l'entreprise.
x²-90x+900
x
≤0.
2. a. Montrer que résoudre l'inéquation U(x) ≤ 80 revient à résoudre l'inéquation (I) ::
b. Résoudre l'inéquation (I) à l'aide d'un tableau de signes sur l'intervalle [10; 100].
c. Interpréter les solutions de cette inéquation dans le contexte étudié. Donner des arrondis à l'unité.
