Réponse:
D'accord, examinons les questions une par une pour les résoudre.
### 1. a. Combien y aurait-il eu de carreaux gris si on avait utilisé 8 carreaux pour faire le côté du grand carré ?
Pour un carré de côté ( n ), les carreaux gris sont disposés sur le contour et une diagonale du carré.
- Le nombre total de carreaux dans le grand carré est ( n^2 ).
- Le contour du carré contient ( 4(n-1) ) carreaux, sauf les coins qui sont comptés deux fois. Donc, il y a ( 4n - 4 ) carreaux sur le contour.
- La diagonale contient ( n ) carreaux, mais les coins (les extrémités de la diagonale) sont déjà comptés dans le contour. Donc, il faut enlever les deux extrémités, ce qui donne ( n - 2 ) carreaux supplémentaires pour la diagonale.
- Le total de carreaux gris est alors ( 4n - 4 + (n - 2) = 5n - 6 ).
Pour ( n = 8 ):
5 × 8 - 6 = 40 - 6 = 34
Il y aurait donc 34 carreaux gris.
### 1. b. Et si on avait utilisé 15 carreaux pour faire le côté du grand carré ? Et 543 carreaux ?
Pour ( n = 15 ):
5 × 15 - 6 = 75 - 6 = 69
Il y aurait donc 69 carreaux gris.
Pour \( n = 543 \):
5 × 543 - 6 = 2715 - 6 = 2709
Il y aurait donc 2709 carreaux gris.
### 2. Écrire un texte qui explique comment trouver le nombre de carreaux gris à utiliser en fonction du nombre de carreaux utilisés pour le côté du grand carré.
Pour trouver le nombre de carreaux gris utilisés dans un grand carré de côté ( n ), suivez ces étapes :
1. **Calculer le nombre de carreaux sur le contour** :
Le contour du carré est composé de 4 côtés. Chaque côté a ( n ) carreaux, mais les coins sont comptés deux fois, donc le nombre de carreaux sur le contour est ( 4n - 4 ).
2. **Calculer le nombre de carreaux sur la diagonale** :
La diagonale a ( n ) carreaux, mais les deux extrémités (coins) sont déjà comptées dans le contour, donc le nombre de carreaux supplémentaires sur la diagonale est ( n - 2 ).
3. **Ajouter les deux quantités** :
Le total de carreaux gris est donné par la formule ( 5n - 6 ).
### 3. Julien affirme : « Sur ma figure, j’ai colorié 316 carreaux en gris ». Est-ce possible ? Expliquer.
Pour vérifier cette affirmation, on doit résoudre l'équation ( 5n - 6 = 316).
5n - 6 = 316
5n = 316 + 6
5n = 322
n = 322
n = 64.4
Puisque ( n ) doit être un nombre entier (le côté du carré), il n'est pas possible d'avoir ( n = 64.4 ). Donc, il n'est pas possible d'avoir exactement 316 carreaux gris selon le schéma donné.