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Pouvez vous m'aider, merci d'avance :

 

On condifère la fonction ln, sa représentation graphique C et la tangente T à C au point d'abscisse 1.

 

1)a) Montrer que la tangente T a pour équation y= x-1.

   b) Calculer ln(x) et x-1 pour: x=0.8, x=0.9, x=1.1 et x=1.2

 

2) Pour tout réel x proche de 1, dans [0.75;1.3], on pose f(x)= x-1-ln(x).

    a) Etudier les varations de la fonction f. Dresser le tableau de variations de f sur [0.75;1.3], en précisant les valeurs aux bornes de l'intervalle, arrondies à 0.001 près.

    b)Montrer que, pour tout réel x entre 0.75 et 1.3, la déffirence entre ln(x) et x-1 reste inférieur à 0.04.

 

3) On admet que, pour x=1, alors ln(x)= x-1

    a) En Ariège, en 2008, le nombre d'habitants était de 150 200. La population augmente chaque année de 1.3%. En supposant que cette évolution se poursuit, exprimer la population P(x) en 2008+x.

Montrer que cette population peut s'écrire: P(x)= 150 200 e^0.013x

    b) Pour la Loire-Atlantique, on modélise la population de l'année 2005+x, en million, par: L(x)= 1.256e^0.006x

Par lecture, donner le taux de variation annuel. Vérifier par le calcule de [tex]\frac{L(x+1) - L(x)}{L(x)} [/tex]

Sagot :

en x=1 ln(x)=0 et sa dérivée 1/x vaut 1 donc T c'est y-0=1(x-1) soit y=x-1

ln(0.8)=-0,223 0,8-1=-0,2

ln(0,9)=-0,105 e 0,9-1=-0,1

ln(1.1)=0,095 et 1.1-1=0.1

ln(1.2)=0,182 et 1.2-1=0.2

 

pour 2 : dérivée 1-1/x a le signe de x-1puique x>0 

f(x) est donc decroissante sur 0,75;1 et croissante ensuite. 

f(0.75)<0,038 et f(1)=0 et f(1.3)<0.038 donc la differnce x-1 -ln(x) ne depasse jamais 0.04

 

le reste est application numerique toute simple.

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