On applique des techniques de calcul vectoriel dans l'espace P4 des fonctions polynomiales R -> R de degré 4. Un polynome P qui apartient a P4 sera note P(t) = a + bt + ct^2 + dt^3 + et^4
(on reserve donc la lettre t pour la variable reelle de nos polynomes).
Soit E = f(P apartient a P4; P(1) = 0 et P(1) = 0) et soit F = f(P apartient a P4; P'(1) = 0 et P'(-1) = 0).
1-a) Montrer que P(t) = a + bt + ct^2 + dt^3 + et^4 est dans E si et seulement si (a; b; c; d; e) est solution d'un systeme lineaire qu'on precisera.
1-b) Resoudre ce systeme et donner une base U de l'espace E.
2-a) Comme ci-dessus, montrer que P(t) = a + bt + ct^2 + dt^3 + et^4
est dans F si et seulement si (a; b; c; d; e) est solution d'un systeme lineaire qu'on precisera.
2-b) Resoudre ce systeme et donner une base V de l'espace F.

 

1.a)

Pour P(1)=0, a+b+c+d+e=0
Pour P(-1)=0, a-b+c-d+e=0
==
b=-d
a=-c-e

2.a) 
P'(t)=1+b+2tc+3dt^2+4et^3
Pour P'(1)=0, 1+b+2c+3d+4e=0
Pour P'(-1)=0, 1+b-2c+3d-4e=0
==
c = -2 e, 
d = -b/3-1/3