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Objectif : résoudre algébriquement l'inéquation x -1 sur x -2 ≥ 4.

1. déterminez la valeur de x qui annule le dénominateur

a) Justifiez que l'inéquation est équivalente à :
(x-1) - 4 (x-2) sur x - 2 ≥ 0
puis à, -3x + 7 sur x-2 ≥ 0, x ≠ 2.

b) Dressez le tableau de signes de -3x + 7 sur x-2, puis terminez la résolution.

Sagot :

Aeneas

1) le dénominateur s'annule pour x-2 = 0 c'est à dire pour x = 2

Soit x∈R\{2}

 

a) On a (x-1)-4(x-2) / (x-2) = (x-1)/(x-2) - 4

Ainsi résoudre (x-1)/(x-2) ≥ 4 revient à résoudre (x-1)/(x-2) - 4 ≥ 0

Donc à résoudre  (x-1)-4(x-2) / (x-2) ≥ 0

Or, (x-1)-4(x-2) = x-1-4x+8 = -3x+7

L'inéquation est donc équivalente à (-3x+7)/(x-2) ≥ 0

 

b) Tableau de signe :

x                 -∞               2                 7/3                      +∞

-3x+7             |       +      ||         +      |          -

x-2                |       -       ||         +     |          +

(-3x+7)/(x-2)  |       -       ||         +      |         -

 

Au final, l'ensemble des solutions à l'inéquation est :

S = ]2;7/3]

 

FIN

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