On considère la fonction définie sur ℝ par :
() = ^3 e^x
On admet que la fonction est dérivable sur ℝ et on note ′ sa fonction dérivée.
1. On définit la suite () par 0 = −1 et, pour tout entier naturel , +1 = ()
a. Calculer 1 . On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée à10−3
.
b. On considère la fonction fonc, écrite en langage Python ci-dessous.
On rappelle qu’en langage Python,
« in range () » signifie que varie de 0 à − 1 »
« ∗∗ 3 signifie 3 »
Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc (1) arrondie à 10−3
2. a. Démontrer que, pour tout réel, on a :
′() = ²( + 3).
b. Justifier que le tableau de variations de sur ℝ est celui représenté ci-dessous.
(on justifiera le sens de variation de , les limites en −∞ et en +∞ et le calcul de (−3))
−∞ −3 +∞
0 -27e^-3 +∞
c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel , on a :
−1 ≤ ≤ +1 ≤ 0.
d. En déduire que la suite () est convergente.
e. On note ℓ la limite de la suite ().
On rappelle que ℓ est solution de l’équation () = .
Déterminer ℓ.
(Pour cela, on admettra que l’équation ^2 e^x -1=0 possède une seule solution dans ℝ et que celle-ci est strictement supérieure à 1/2 ).
