Bonjour,
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Développer et factoriser
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Développer une expression consiste à la faire apparaître sous la forme d'une somme, alors que la factoriser consiste à la faire apparaître sous forme de produit.
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(1)
[tex]\sf A = (3x + 1)(7 - x) - (3x + 1)^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = 3x \times 7 + 3x \times (-x) + 1\times 7 + 1 \times (-x) - {(3x + 1)}^{2} \\ \sf A =21x - 3 {x}^{2} + 7 - x - {(3x + 1)}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = - 3 {x}^{2} + 20x + 7 - {(3x + 1)}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
Après s'être servis de la double distributivité, on remarque la présence d'une identité remarquable :
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[tex]\sf (\blue{a} + \green{b})^{2} = \blue{a}^{2} + 2\blue{a}\green{b} + \green{b}^{2}[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf A = - 3 {x}^{2} + 20x + 7 - {( \blue{3x} + \green{1})}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = - 3 {x}^{2} + 20x + 7 - ( \blue{(3x)}^{2} + 2 \times \blue{3x} \times \green{1} + \green{1} ^{2} ) \\ \sf A = - 3 {x}^{2} + 20x + 7 - (9 {x}^{2} + 6x + 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = - 3 {x}^{2} + 20x + 7 - 9 {x}^{2} - 6x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{\sf A = - 12{x}^{2} + 14x + 6}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \boxed{ \sf b} \\ \sf A = (3x + 1)(7 - x) - {(3x + 1)}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = (3x + 1)(7 - x) - (3x + 1)(3x + 1)[/tex]
On repère un facteur commun:
[tex] \sf A= \underbrace{ \red{(3x + 1)}}_{ \sf \red{ fac.commun}}(7 - x) - \underbrace{ \red{(3x + 1)}}_{ \sf \red{ fac.commun}}(3x + 1) \\ \\ \sf \sf A = \red{(3x + 1)}(7 - x - (3x + 1)) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = \red{(3x + 1)}(7 - x - 3x - 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf A = \red{(3x + 1)}(6 - 4x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{\sf A =2(3 - 2x)(3x + 1)}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
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(2) Nous allons ici aussi devoir factoriser en suivant la méthode du facteur commun et en prêtant attention aux potentielles identités remarquables.
[tex]\sf B = x^{2} - 9x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf B = \underbrace{\orange{x}}_{\orange{f.c}} \times x - 9 \times \underbrace{\orange{x}}_{\orange{f.c}} \\ \\ \boxed{ \boxed{\sf B = \orange{x}(x - 9)}}[/tex]
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[tex]\sf C = x^{2} - 9 \: \\ \sf C = \purple{x}^{2} - \pink{3}^{2}[/tex]
Identité remarquable "différence de deux carrés":
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[tex]\sf \purple{a}^{2} - \pink{b}^{2} = (\purple{a} - \pink{b})( \purple{a} + \pink{b})[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \boxed{ \boxed{\sf C = (\purple{x} - \pink{3})( \purple{x} + \pink{3})}}[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \sf D = 4ax + 4a \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf D = \underbrace{\green{4a}}_{\green{f.c}} \times x + \underbrace{\green{4a}}_{\green{f.c}} \times 1 \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf D = \green{4a}(x + 1) }} \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ \\ [/tex]
▪️Tu trouveras ici des liens qui traitent de la factorisation et du développement :
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5451516
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5310092
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Bonne journée.
