Bonjour,
Tout d'abord, commençons par manipuler un petit peu cette équation de sorte à avoir toutes les inconnues dans le même membre:
[tex] \sf {4x}^{3} + 9x = {12x}^{2} \\ \Longleftrightarrow \sf {4x}^{3} - 12 {x}^{2} + 9x = 0[/tex]
On se rend rapidement compte qu'il est possible de factoriser le membre gauche de l'équation par x:
[tex] \sf{4x}^{3} - 12 {x}^{2} + 9x = 0 \\ \sf \Longleftrightarrow 4 {x}^{2} \red{ \times x} - 12x \red{\times x} + 9 \red{ \times x} = 0\\ \Longleftrightarrow \sf \red{x}(4 {x}^{2} - 12x + 9) = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ [/tex]
On sait qu'un produit de facteur est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Cela signifie donc que:
[tex] \blue{ \star } \: \sf Soit \: \boxed{ \sf\red{x} = 0}[/tex]
[tex] \blue{ \star} \sf \: Soit \: 4 {x}^{2} - 12x + 9 = 0[/tex]
Il s'agit ici d'une équation du second degré, et nous allons maintenant ici déterminer les coefficients a,b et c pour déterminer la valeur de son déterminant et celle de ses éventuelles racines.
[tex]\bullet \: \sf \orange{a = 4} \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \: \sf \green{b = -12} \\ \bullet \: \sf \purple{c = 9} \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex] \\ [/tex]
⇢Calcul du discriminant :
[tex] \sf \Delta = \green{b}^{2} - 4 \orange{a} \purple{c} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \Delta = \green{( - 12)} ^{2} - 4 \orange{(4)} \purple{(9)} \\ \sf \Delta = 144 - 144 = \boxed{ \sf0} \: \: [/tex]
Le discriminant de l'équation étant nul, elle admet une solution double:
[tex] \sf x_0 = \dfrac{-\green{b}}{2\orange{a}} = \dfrac{ - \green{( - 12)}}{2 \orange{ \times 4}} = \dfrac{12}{8} \\ \\ \boxed{ \sf \: x_0 = \dfrac{3}{2} }[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est:
[tex] \boxed{ \boxed{\sf S=\{0 \: ; \: \dfrac{3}{2} \}}}[/tex]
[tex] \\ [/tex]
- Remarque:
Sans utiliser le discriminant, on aurait pu factoriser 4x² - 12x + 9 avec l'identité remarquable suivante:
[tex] \sf \red{a}^{2} - 2\red{a}\blue{b} + \blue{b}^{2} = (\red{a} - \blue{b})^{2} [/tex]
On aurait obtenu 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)² et nous aurions résolu l'équation suivante:
(2x - 3)² = 0
⇔2x - 3 = 0
⇔2x = 3
⇔x = 3/2
Soit ce que nous avions trouvé juste avant.
[tex] \\ \\ [/tex]
▪️Tu trouveras ici un rappel sur les deux notions abordées dans ton exercice:
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5043825
[tex] \\ [/tex]
Bonne journée.
