Somme et produit des racines d’un polynˆome Th´eor`eme : Consid´erons le polynˆome f(x) = ax2 + bx + c. Si f(x) peut ˆetre mis sous forme factoris´ee f(x) = a(x − x1)(x − x2), alors : • x1 et x2 sont racines de f. • x1 + x2 = − b a et x1x2 = c a Exercice 1 D´emontrer le th´eor`eme pr´ec´edent. Exercice 2 On consid`ere le polynˆome f(x) = 24x 2 + 36x − 60. 1. Montrer que 1 est une racine de f. 2. En utilisant le fait que x1 + x2 = − b a , d´eterminer la deuxi`eme racine de f. 3. En d´eduire la forme factoris´ee de f. Exercice 3 Pour les polynˆomes suivants, chercher une racine ´evidente parmi les nombres −1, 1, −2, 2 ; et en d´eduire une factorisation du polynˆome, sans utiliser le discriminant. • f(x) = −x 2 + 4x − 3 • g(x) = 2x 2 − x − 3 • h(x) = x 2 + 5x − 14 • k(x) = x 2 + 5x + 6 Exercice 4 R´esoudre le syst`eme suivant : x + y = 2 xy = −3
