Bonjours pouvez vous résoudre se devoirs maison svp
Exercice 1 (3 points)
Soient a et b deux entiers relatifs. On suppose que a divise b − 5 et que a divise 3b + 7. Montrer
que a divise 22.
Exercice 2 (3 points)
Rose et Antoine discutent de math´ematiques.
Rose : “Je pense `a un nombre strictement positif inf´erieur `a 500. Ce nombre est divisible par 23 et
multiple de 5. Peux-tu me dire `a quel nombre je pense ?”
Antoine : “Non, il y a... laisse-moi voir... quatre possibilit´es.”
Rose : “Si j’ajoute que la somme des chiffres du nombre auquel je pense est un nombre premier, cela te
suffit-il ?”
Antoine : “Non, toujours pas.”
Rose : “Alors j’ajoute que tous les chiffres de mon nombre sont distincts.”
Antoine : “C’est bon, je sais `a quel nombre tu penses.”
1. Quelles sont les “quatre possibilit´es” auxquelles Antoine fait r´ef´erence ?
2. Pourquoi le fait que la somme des chiffres du nombre cherch´e soit un nombre premier ne suffit-il pas
`a conclure ?
3. Expliquer pourquoi Antoine peut conclure avec la derni`ere indication de Rose puis donner le nombre
auquel Rose pensait.
Exercice 3 (4 points)
1. Calculer 32 × 46 puis 23 × 64. Que remarque-t-on ?
2. On dit que deux nombres `a deux chiffres sont permutables si leur produit reste inchang´e lorsque l’on
intervertit les chiffres des deux nombres ; d’apr`es la question 1, 32 et 46 sont donc permutables.
a. Montrer que 46 et 96 sont permutables.
b. Soient a, b, c, d quatre entiers compris entre 0 et 9. Justifier que les entiers `a deux chiffres dont
les ´ecritures d´ecimales respectives sont ab et cd sont permutables si et seulement si (10a + b)(10c + d) =
(10b + a)(10d + c).
c. Montrer que les solutions de l’´equation pr´ec´edente sont exactement les entiers a, b, c, d tels que
ac = bd. Donner alors un couple d’entiers permutables distinct de (32; 46) et (46; 96).