Exercice 5 Soit H = R", muni de sa norme euclidienne || ||.
SCH|x||² - 1)² si ||x|| ≤ 1
si ||x|| >1
On pose B(t) = {(t-1)² sit≤1
et_g(x) = {{1}x|| 0
0
sit ≥ 1
1) Montrer que ß est de classe C¹ sur R.
2) Montrer que g est de classe C¹ sur R" et calculer sa différentielle. Indication : Utiliser ß.
2
-
3) Montrer que pour tout t € [0,1], on a t(1 – t²) ≤ 3
3√3
8
3√3 || h ||.
4) Montrer que pour tout x, h € R", on a |Dg(x). h| ≤3√3
8 - yll.
3√3
5) En déduire que : x,y € R¹, g(x) - g(y)| ≤|xy||.