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Fonction dérivée
Bonjour, je suis en première spé maths et j’ai un DM à rendre mais je ne comprends pas cet exercice.
Je ne sais pas quelle formule utiliser, pour moi c’est la formule de la dérivé d’une fonction composé donc : f(x) = a x g’ (ax + b), mais je ne sais quelle est le nombre a et le nombre b.
Merci d’avance pour votre aide.

Fonction Dérivée Bonjour Je Suis En Première Spé Maths Et Jai Un DM À Rendre Mais Je Ne Comprends Pas Cet Exercice Je Ne Sais Pas Quelle Formule Utiliser Pour M class=

Sagot :

Sapin2Paques

Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :

On pose [tex]f[/tex], la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}^*[/tex] tel que :

[tex]f(x) = (x + \frac{1}{x})^2[/tex]

Pour déterminer sa dérivée, nous pouvons effectivement utiliser la fonction de dérivée d'une fonction composée, car on reconnaît rapidement que la fonction [tex]f[/tex] est une fonction puissance composée d'une fonction polynômiale. Mais ! Pourquoi s'embêter ?

Ne connaissons-nous pas une identité remarquable remarquablement utile pour résoudre (a + b)² ? Hé oui !

On aura donc :

[tex]f'(x) = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})'[/tex]

Puis d'après un moyen mnémotechnique de mon professeur :

"La dérivée d'une somme est la somme des dérivées"

D'où :

[tex]f'(x) = (x^2)' + (2)' + (x^{-2})'[/tex]

[tex]f'(x) = 2x + 0 -2x^{-3}[/tex]

En remettant en forme correcte

[tex]f'(x) = 2x - \frac{2}{x^3}[/tex]

En factorisant les 2

[tex]f'(x) = 2(x - \frac{1}{x^3})[/tex]

Et en mettant au même dénominateur

[tex]f'(x) = 2\frac{x^4 - 1}{x^3}[/tex]

En espérant t'avoir aidé au maximum !

Joyeux Noël :)

jpmorin3

bonjour

c'est la dérivée de [u(x)]²    avec     u(x)    = (x + 1/x)

cette dérivée est : 2u(x)u'(x)

  u'(x) = 1 - 1/x²

                 2u(x)u'(x) = 2(x + 1/x)(1 - 1/x²)

                                 = 2(x -1/x + 1/x - 1/x³

                                = 2(x - 1/x³)        en réduisant au dénominateur x³

                                = 2(x⁴/x³ - 1/x³)

                                = 2(x⁴ - 1)/x³

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