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Bonjour. Je suis en seconde au lycée. J'ai un problème avec un exercice de maths. Cet exercice est sur le nombre d'or. Or, nous n'en avons jamais parlé en classe auparavant et mon professeur nous a donné une activité notée sur ce sujet. J'ai bien évidemment essayé d'y répondre toute seule mais après maintes recherches je n'y arrive toujours pas... Donc je vais d'abord vous mettre l'exercice et après mes réponses (je n'arrive pas à répondre à la dernière question).

 

Donc voici l'énoncé:

 

D'après Euclide, dans le livre VI des Eléments. Un segment est partagé suivant la section d'or ou la proportion divine si les rapports x/y et y/x-y sont égaux, ce qui signifie que le petit et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le grand segment.

 

1) Soit x et y deux nombres (avec x > y) respectant la proportion divine. Quelle égalité vérifient-ils?

 

2) Le nombre d'or est le nombre phi tel que phi = x/y. Exprimer x en fonction de phi et y.

 

3) Montrer que phi = 1/ -1.

 

4) En déduire que phi² = phi +1.

 

5) -Que pouvez-vous en conclure en ce qui concerne le nombre d'or?

    -Comment peut-on le déterminer?

 

Alors voici mes réponses pour les quatre premières questions:

 

1) x = y+(x-y) y = x-(x-y)

 

2) phi = x/y

    x = phi * y

 

3)x/y = y/(x-y)

  <=> x(x-y)=y²

  <=> x²-xy-y²=0

  <=> (x²-xy-y²)/y²=0/y²

  <=> x²/y² - x/y - y²/y² = 0

  <=> phi² - phi -1 =0

  <=> phi² - phi = 1

  <=> phi(phi-1) = 1

  <=> phi = 1/(phi-1)

 

4) Nous avons démontré dans la question précédente que phi²-phi-1=0.

Donc:

phi²-phi-1=0

<=> phi²=phi+1

 

Voici mes réponses pour les quatre premières questions, mais je ne sais pas du tout quoi répondre pour la 5ème question.

 

Je remercie beaucoup les personnes qui voudront bien m'aider! Anonyme1996

Sagot :

désolé de n'avoir pu répondre hier, mais la troisième question n'a pas de sens, je crois que tu as fais une erreur en recopiant..

 

Ce que tu peut conclure, c'est que [tex]\phi[/tex] est la solution d'une équation du second degré, on peut donc le calculer:

[tex]\phi = \frac{1 +/- \sqrt{5}}{2}[/tex]. (méthode du déterminant/réalisant

Comme on parle souvent de [tex]\phi[/tex] avec des proportions de longueur, on prends le signe positif.

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