Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il vend sous forme liquide.
Le laboratoire produit entre 0 et 50 litres par semaine.
1. Le coût de fabrication de 10 litres de médicament s'élève à 2 325 €.
Si le médicament est vendu 230 € le litre, le laboratoire réalise-t-il un bénéfice
lorsqu'il produit et vend 10 litres de médicament?
2. On modélise le résultat, exprimé en euro, réalisé par la fabrication et la vente de x
litres de médicament par la fonction R définie sur [0:50] par
R(x) = -0,25x³ + 16,5x² 120x - 225.
a. Déterminer, pour tout x de [0;50], Rx) où R' est la fonction dérivée de R.
b. Démontrer que, pour tout x de [0; 50], R'(x) = -0,75(x-4)(x-40).
c. Etudier le signe de R'(x) sur [0:50], puis en déduire les variations de R sur
[0:50].
d. Pour combien de litres de médicament fabriqués et vendus, le laboratoire réalise-
t-il un bénéfice maximal (c'est-à-dire un résultat maximal)?
Quel est alors le montant de ce bénéfice ?