EXERCICE 5 (5 points)
I) g est la fonction numérique définie et continue sur ]0, +∞ [ par : g(x) = x² + ln x.
1) Calcule les limites en 0 et en+∞o de g puis dresse son tableau de variation sur ]0, +∞ [.
2) Montre que vx € ]0; +∞o[ l'équation g(x) = 0 admet une solution unique notée a et que
0,6 < a < 0,7.
3) Montre que, Vx € ]0; a[, g(x) < 0 et vx € [a; +∞o[, g(x) > 0.
II) On considère maintenant la fonction numérique f définie sur ]0; +∞ [par :
f(x) = x + 1-¹+x. On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthonormé direct (O; I; J) d'unité 4 cm.
1.a) Calcule les limites de f aux bornes de ]0; +∞ [.
b) Montre que vx € ]0; +∞o[, f'(x) =) où f' est la fonction dérivée de f.
x²
c) Dresse le tableau de variation de f sur ]0; + ∞ [.
2.a) Montre que la droite (D) d'équation y = x + 1 est une asymptote oblique à (C).
b) Montre que f(a) = 2a + 1-²/2
3 On note h la restriction de la fonction fà [a; +∞o[.
a) Montre que h réalise une bijection de [a; +∞o[ vers un intervalle J que l'on précisera.
c) Calcule h(1) et (h-¹)'(1).
