Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte. Chaque réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse retire 0,25 point et l'absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point (la note finale peut donc être négative). On suppose qu'un candidat répond au hasard à chaque question.
1. a. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de bonnes réponses du candidat. Déterminer la loi de X.
b. Calculer et interpréter l'espérance de X.
c. Calculer la probabilité que le candidat obtienne au moins la moyenne à ce QCM.
2. Soit N la variable aléatoire qui donne la note du candidat (sur 20).

a. Exprimer N en fonction de X. En déduire la note moyenne qu'il peut espérer obtenir.
b. Déterminer le nombre de points à attribuer à une réponse fausse afin qu'un candidat qui réponde au hasard puisse espérer obtenir une note de 5 à ce QCM. ...​