1. Conjecturer si la proposition suivante est vraie ou
fausse : « Si deux entiers ne sont ni l'un ni l'autre multiple
de 3, leur produit n'est pas multiple de 3 >>.
2. a. Quand on effectue la division euclidienne d'un
entier naturel n par 3, quels sont les restes possibles?
b. Justifier que si n n'est pas multiple de 3, il existe un
entier naturel k tel que n = 3k + 1 ou n = 3k + 2.
3. Pour démontrer la proposition énoncée en 1., un élève
a écrit :
Si n=3k + 1 et m = 3k + 1 alors
nm = 9k² + 6k+ 1 = 3(3k² + 2k) + 1
Si n=3k + 2 et m = 3k + 2 alors
nm = 9k² + 18k+ 4 = 3(3k² + 6k+ 1) + 1.
Donc nm n'est pas multiple de 3.
a. Quel type de raisonnement utilise-t-il ?
b. Celui-ci n'est pas complet: quel cas a-t-il oublié ?
c. Quelle erreur commet-il dans les cas étudiés ?
d. Rédiger une démonstration complète de cette
proposition.
