Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un
nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires.
La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par
l'usine est modélisée par les fonctions f, pour le produit A,
et g, pour le produit B, définies sur 1 = [0; 14)
f(x) = 2000e-02x et g(x) = 15x² + 50x
où x est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau
produit B exprimée en mois.
Leurs courbes représentatives respectives €, et €, sont
données ci-dessous.
3000
2.500
2000
1500
1000
500
0
12
0
181
2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
1. Sur le graphe, qu'a-t-on représenté en abscisses?
en ordonnées ?
Par lecture graphique et avec la précision permise par le
graphique, déterminer la durée nécessaire pour que la
quantité de produit B dépasse celle du produit A.
2. Pour tout nombre réel x de l'intervalle I on pose:
h(x) = f(x)-g(x).
On admet que la fonction h est dérivable sur l.
a) Que modélise cette fonction dans le contexte de
l'exercice?
b) Montrer que, pour x EI:
h'(x)=-400e-92-30x-50.
c) En déduire que la fonction h est décroissante sur 1.
d) On donne h(0) = 2 000 et h(14) = -3 518.
Justifier que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution
a sur I et donner un encadrement d'amplitude 0,1 de x.
e) Résoudre alors g(x) > fix) et retrouver le résultat de la
question 1.