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Formules d'Al-Kashi Approfondissement
Raisonner, communiquer
Chapitre 8. Problèmes de géométrie
Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore
dans l'ouvrage Clé de l'arithmétique (vers 1429).
Il introduit la trigonométrie dans l'égalité de
Pythagore. Pour Al-Kashi, cette propriété est
liée aux aires (cependant il en existe plein de
démonstrations différentes).
Soit ABC un triangle qui a trois angles aigus. On
construit sur les côtés de ce triangle, trois carrés
ACLJ, BCIG et ABOM, tous situés à l'extérieur
du triangle ABC.
D, E et F sont les projetés orthogonaux respectifs
de A sur (BC), de B sur (AC) et de C sur (AB). Les
droites (AD), (BE) et (CF) coupent respectivement
(IG), (JL) et (MO) en H, K et N.
L
M
b. En déduire que:
B
CA²+CB2=AB2+2CAX
N
0
1. a. Expliquer pourquoi les aires des triangles
JAE et JAB sont égales.
b. Quelle est l'image du triangle JAB par la rota-
tion de centre A, d'angle 90° dans le sens horaire?
En déduire une égalité d'aire.
c. Expliquer pourquoi les aires des triangles CAM
et FAM sont égales.
d. Que peut-on en déduire concernant les rec-
tangles verts?
2. On admet que, de même, les aires des rec-
tangles rouges sont égales.
a. Montrer que l'aire de chaque rectangle bleu
vaut CA X CB x cos ACB.
H
G
249
CBX cos ACB.
On peut en fait généraliser ce résultat à tout
triangle ABC.