Bonjour,
f(x)=1/√(x + ½)
1 ) Soit x₁ et x₂ deux réels dans ]-½ ; +∞[ tels que x₁ < x₂
x₁ < x₂ ⇔ x₁ + ½ < x₂ + ½
⇔ √(x₁ + ½) < √(x₂ + ½)
⇔ 1/√(x₂ + ½) < 1/√(x₁ + ½)
⇔ f(x₂) < f(x₁)
f est donc strictement décroissante sur ]-½ ; +∞[
2 )
g : ]-½ ; +∞[ → ]0 ; +∞[
x → x + ½
est une fonction continue, strictement positive et dérivable sur ]-½ ; +∞[
h : ]0 ; +∞[ → ]0 ; +∞[
x → 1/√x
est à son tour continue, strictement positive et dérivable sur ]0 ; +∞[ car composée des fonctions racine carré et inverse qui sont continues, strictement positives et dérivables sur ]0 ; +∞[
On en déduit que la composée h o g = f est continue, strictement positive et dérivable sur ]-½ ; +∞[
f'(x) = (hog)' (x) = g'(x) . h'og(x) = -1 / [2 (x + ½) √(x + ½)] = -1 / [(2x + 1) . √(x + ½)]
√(x + ½) > 0 pour tout x dans ]-½ ; +∞[
2x + 1 > 0 pour tout x dans ]-½ ; +∞[
D'où f'(x) < 0 pour tout x dans ]-½ ; +∞[
f' est donc strictement négatif sur ]-½ ; +∞[
x | -½ +∞|
f'(x)| - |
