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On pose f la fonction definie sur ]-½,+ ∞] par f(x)=1/√x+ ½ (la racine s’applique aussi à 1/2)

1. montrer que f est décroissante sur ]-½,+ ∞]
2.Montrer que f est dérivable et préciser ou
3. Donner le tableau de signes de f’

Sagot :

Mozi

Bonjour,

f(x)=1/√(x + ½)

1 ) Soit x₁ et x₂ deux réels dans ]-½ ; +∞[ tels que x₁ < x₂

x₁ < x₂ ⇔  x₁ + ½ < x₂ + ½

⇔ √(x₁ + ½) < √(x₂ + ½)

⇔ 1/√(x₂ + ½) < 1/√(x₁ + ½)

⇔ f(x₂) < f(x₁)

f est donc strictement décroissante sur ]-½ ; +∞[

2 )

g : ]-½ ; +∞[ → ]0 ; +∞[

x → x + ½

est une fonction continue, strictement positive et dérivable sur ]-½ ; +∞[

h : ]0 ; +∞[ → ]0 ; +∞[

x → 1/√x

est à son tour continue, strictement positive et dérivable sur ]0 ; +∞[ car composée des fonctions racine carré et inverse qui sont continues, strictement positives et dérivables sur ]0 ; +∞[

On en déduit que la composée h o g = f est  continue, strictement positive et dérivable sur ]-½ ; +∞[

f'(x) = (hog)' (x) = g'(x) . h'og(x) = -1 / [2 (x + ½) √(x + ½)] = -1 / [(2x + 1) . √(x + ½)]

√(x + ½) > 0 pour tout x dans ]-½ ; +∞[

2x + 1 > 0 pour tout x dans ]-½ ; +∞[

D'où f'(x) < 0 pour tout x dans ]-½ ; +∞[

f' est donc strictement négatif sur ]-½ ; +∞[

x    | -½     +∞|

f'(x)|       -       |

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