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Un problème d'optimisation
Un paysagiste doit organiser un terrain rectangulaire de 10m par 8 m avec
des tulipes et du gazon. Il a prévu d'équilibrer les aires des parcelles dé-
diées aux tulipes (surfaces grisées) et au gazon (surfaces hachurées).
L'objectif est de déterminer les valeurs possibles de x pour parvenir à ce
que les deux aires soient égales.
8m
D
A
x
४
10m
1) Donner, par un encadrement, toutes les valeurs possibles de x dans ce problème.
2) Montrer que l'aire G(x) de surface de gazon peut s'exprimer par G(x) = x² + (10-x)(8 - x).
3) Déterminer une expression pour l'aire T(x) de la surface recouverte par les tulipes (surfaces grisées).
4) On admet que T(x) = -2.x² + 18x.
Montrer que résoudre l'équation G(x) = T(x) revient à résoudre l'équation 4x²-36x+80= 0.
5) Montrer que, pour tout x réel, on a 4x²-36x+80= 4(x - 5)(x-4).
6) En déduire les solutions au problème posé en résolvant une équation produit nul.
C
B
