La D.G. XXIV de la Commission Européenne, dans son rapport du 8 juillet 1999, détaille ainsi l'évaluation du test W pour le diagnostic de l'ESB (Encéphalopathie Spongiforme Bovine): la proportion des réactions POSITIVES au test effectué sur des tissus nerveux provenant d'animaux infectés est égale à 70%; la proportion des réactions NÉGATIVES au test effectué sur des tissus nerveux provenant d'animaux non infectés est égale à 90%. . ● On envisage un dépistage dans un cheptel bovin. On choisit dans le cheptel un animal au hasard. On désigne par M l'événement « l'animal est malade » et par T l'événement « le test est positif »>.
Partie A
On estime à 0,07 la fréquence d'animaux malades dans le cheptel.
1°) Construire un arbre pondéré représentant cette situation et donner les valeurs manquantes.
2°) En utilisant cet arbre, calculer P(MOT) puis P(T).
3°) En déduire la probabilité que l'animal soit malade sachant que le test est positif. On donnera la valeur arrondie à 10-3.
Partie B
On estime maintenant à x la fréquence d'animaux malades dans le cheptel.
1°) Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
2°) En utilisant cet arbre, calculer P(MOT) puis P(T).
3°) On note P+(M) la probabilité que l'animal soit malade sachant que le test est positif. 7x Montrer que P+(M)= 6x + 1
4°) Soit f la fonction numérique de la variable x définie sur [0:1] par: f(x)=; Résoudre sur [0; 1] l'inéquation f(x) > 0, 9. Interpréter le résultat. 7x 6x + 1​