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Bonjour, c’est un exercice
90 Approximation affine locale
Lorsqu'une fonction f est dérivable en a, on a :
f'(a)= lim f(a+h)-f(a)
h-0
h
On montre que l'égalité précédente équivaut à :
f(a+h)-f(a)
h
1. En déduire l'égalité :
f(a+h)=f(a)+ f'(a)h+he(h) avec lim e(h) = 0
h→0
2. Sur le graphique ci-dessous, justifier les trois quan-
tités indiquées en couleur.
f(a)-
= f'(a)+ ε(h) avec lim ε(h) = 0
h→0
0
he(h)
f'(a)h
f(a)
a+h X
3. En négligeant le terme he(h), on peut écrire une
approximation de f(a+h) pour h proche de 0:
f(a+h) = f(a)+ f'(a)h
On dit que h→ f(a)+ f'(a)h est une «< approxima-
tion affine » de f(a+h) lorsque h est proche de 0.
Justifier l'appellation «< approximation affine >>.
4. a. Écrire cette approximation affine lorsque f est la
fonction racine carrée en a = 1.
b. Application numérique : trouver, sans calculatrice,
une valeur approchée de √1,02 et √0,996.
5. a. Écrire cette approximation affine lorsque f est la
fonction inverse et a = 2.
b. Application numérique : trouver, sans calculatrice,
une valeur approchée de
1
1
et
2,004 1,992
