Bonjour,
récemment notre professeur nous a fait travailler sur les limites de suite et nous a donné des exercices qu'il qualifie de niveau post bac voici l'énoncé et les propriétés vues :

∀A > 0,∃N ∈ N(naturel),∀n > N, Un≥ A

∀e > 0, ∃N ∈, ∀n > N, I Un - L I ≤ e

On définit deux suites : u ∈ R^N définie par Un = n et v ∈ R^N définie par vn = -2n^2 et wn = 1 - 1/n^2

les premières question consistaient à faire une conjecture c'est surtout sur la dernière que j'aimerais avoir votre aprobation

" Prouver que lim u quand n-> + ∞ = + ∞ et lim v quand n -> + ∞ = - ∞ et que u converge vers 1"

Mon raisonnement pour u:

Montrons que la suite u définie par Un = n diverge vers + ∞

Soit A>0, et N le terme immédiatement supérieur à A, avec n > N alors :

n > N ≥ A >0
n > N ≥ A
Un≥ A

De fait la suite (Un)n€N est croissante sur N donc pour toutes valeurs de n assez grandes on a :

lim u quand n -> + + ∞ = + ∞,

Mon raisonnement pour v :

Montrons que la suite v définie par vn = -2n^2 diverge vers - ∞
Soit A<0
On veut que : Un < A ≤ 0
Donc : -2n^2 < A
n^2< -A /2

on pose A' = -A , A' > 0
Donc : n< sqrt(A'/2)
Considérons maintenant N le terme immédiatement supérieur à sqrt(A'/2) et n > N alors :

n < N ≤ sqrt(A'/2)
=>n^2 > N^2 ≥ A' / 2
=>-2n^2 < -2N^2 ≤ -A'
=>-2n^2 < -2N^2 ≤ A ( car -A' = -(-A))
=>Un ≤ A

Ainsi à partir de n assez grand v converge vers -∞ autrement dit :

lim u quand n->+ ∞ = -∞

Mon raisonnement pour w:

Montrons que la suite w € R^N définie par wn = 1 - 1/n^2 converge vers 1.
Tout d'abord pour tout n strictement positif on a : Un < 1
Donc : I Un -1 I < e ce qui signifie que 1- e < Un < 1+e,
particulièrement : Un > 1 - e
De plus : e > 1 - Un <=> e > 1/n^2 <=> 1/e < n^2 <=> n > 1/sqrt e

Donc on peut écrire , en fixant N le terme immédiatement après 1/ sqrt(e)

n > N ≥ 1/ sqrt(e)
=> n^2 > N^2 ≥ 1/e
=>1/n^2 < 1/N^2 ≤ e
=>-1/n^2 > - 1/N^2 ≥ -e
=> 1- 1/n^2 > 1- 1/N^2 ≥ 1 - e
=>Un ≥ 1 - e

Ainsi pour toute valeur e-proche de 0 on peut affirmer qu'a partir d'un certain rang n u converge vers 1 autrement dit :
lim u quand n-> + ∞ = 1

Mon message est très long, mais je suis vraiment très intéressé par les math et vous remercie infiniment pour vérifier mon raisonnement et me corriger : )