Exercice 3: Après une étude statistique sur sa clientèle durant plusieurs années, une entreprise fait les constatations suivantes :
i. Chaque année, il y a une perte de 20 % des anciens clients.
ii. Chaque année, il y a 120 clients nouveaux.
iii. A la fin de l'année 2004, il y a 1000 clients.
En utilisant uniquement ces données et en supposant qu'il en sera de même pour toutes les années suivantes, l'entreprise veut estimer le nombre de ses clients dans les années futures. On pose pour cela : Uo est le nombre de clients en fin 2004. U₁ celui de 2005, et U,, désigne le nombre de clients de l'année 2004 + n. Ces conditions nous définit une suite (Un) vérifiant: U₂+1 = 0,8 × Un + 120. La suite (U) n'étant ni géométrique ni arithmétique, nous allons dans un premier temps étudier la suite (V₂) définie par: Vn- Un -600, pour tout n.
1. Exprimer l'+1 en fonction de Vn.
2. En déduire que la suite (V) est une suite géométrique, donner sa raison et Vo
3. Exprimer V, en fonction de n.
4. En déduire une expression de U, en fonction de n.
5. En déduire une estimation du nombre de clients en 2014, puis en 2024.
6. Si cette entreprise nécessite au moins 500 clients pour sa survie, est-elle selon les conditions
i, ii et iii convenues, vouée à disparaître faute de clients suffisants ? Si oui, en combien de temps ? - Sinon, expliquer pourquoi. -
