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On considère un nombre entier n impair.
Il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
Alors n² = (2k + 1)² = 2(2k² + 2k) + 1
2k et 2k² sont des nombres entiers.
On en déduit donc que 2k² + 2k est aussi un nombre entier.
On a ainsi démontré qu'il existe
un nombre entier p tel que n² = 2p+1.
Conclusion: n² est bien impair.
On a donc démontré la propriété.