Objectif Découvrir les notions de variations
de fonctions et d'extremums.
Dans le schéma ci-dessous, Patrick, représenté par le point P, se déplace d'un point A à un point B.
Caroline se situe au point C et ne se déplace pas. Les longueurs sont données en kilomètre.
On note x la distance AP parcourue par Patrick durant son déplacement.
On souhaite étudier la longueur CP, notée L(x), en fonction de x.
C
x
L(x)
1
x
Variations
de L
P
0
x 2
Bilan
3
1
L(x),
4
1 a) En prenant comme échelle 1 cm = 1 km, reproduire la figure.
b) Démontrer que, pour tout x = [0; 6], L(x)=√x²-12x+52.
c) Démontrer que, pour tout x = [6; 10], on a aussi L(x)=√x²-12x+52.
d) Compléter le tableau de valeurs suivant en utilisant les expressions précédentes. Arrondir à 10 si nécessaire.
2
5
3
6
4
H
5
8
6
В.
9 10
7
8
9
2 À l'aide de ces mesures, tracer la courbe représentative de la fonction L dans un repère orthonormé.
3 a) Quelle semble être la plus petite image par la fonction L ?
b) En quelle valeur de x est-elle atteinte ?
c) Quelle interprétation pouvez-vous faire concernant la longueur CP ?
À l'aide des valeurs calculées, compléter le tableau suivant (appelé tableau de variations de L.).
10
5 a) Préciser graphiquement les antécédents de 5 par la fonction L.
traits de construction apparents.
AIDE
1 Utiliser des triangles
rectangles en II.
Comment peut-on décrire les variations d'une fonction
à l'aide d'un tableau ? Comment définir un minimum ?
b) Résoudre L(x) <5 puis L(x) >5 à l'aide de la courbe de L. Comment retrouver ces résultats sur la figure
à l'aide d'un compas?
6 Résoudre L(x) <6 puis L(x) > 6 puis retrouver ces résultats à l'aide d'un compas.
LOGIQUE
L(x) > 5 peut éventuellement
se déduire de L(x) < 5.