Bonsoir pouvez-vous m’aider pour ce dm il est a rendre jeudi
En Inde, une légende vieille de 1500 ans raconte comment un Brahmane (membre d'une
caste religieuse) du nom de Sessa fut récompensé pour avoir inventé le jeu d'échec.
Le roi des Indes fut tant émerveillé lorsque Sessa lui apprit le jeu que le roi lui proposa de
choisir la récompense qu'il souhaitait.
Le Brahmane demanda alors ka quantité de grains de blé qu'il serait nécessaire pour remplir
les 64 cases d'un échiquier en respectant la condition suivante :
Chaque case doit contenir deux fois plus de grains que la précédente sachant que la
première case ne contient qu'un seul grain.
Soit : 1 grain sur la première
2 grains sur la deuxième
4 grains sur la troisième (2 fois 2)
8 grains sur la quatrième ( 2 fois 2 fois 2)
16 grains sur la cinquième ( 2 fois 2 fois 2 fois 2) ........
Le roi accepta la demande de Sessa en se disant que celle-ci était plutôt modeste.
Mais lorsqu'un arithméticien résolut le problème, le roi se rendit compte que le Brahmane
l'avait dupé et que la quantité de grains de blé qu'il demandait était impossible à fournir.
1) a) Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grains ? 231 grains ?
b) Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l'échiquier ? Donner le résultat
comme somme de puissances de 2. On pourra utiliser des « ... » pour ne pas écrire tous les
termes.
2) a) Vérifier que les expressions suivantes sont vraies :
1+2=2²-1
1+2+2²= 2³-1
1+2+2²+2³ = 24 - 1
b) En fait, cette formule est vraie pour tout entier : 1+ 2+ 2² +2³+...+2n-1 = 2"-1
Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 1) b).
c) En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout
l'échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique.
d) La calculatrice ne permet pas de calculer la valeur exacte 264. Mais il est possible d'obtenir
celle de 232
A l'aide de ce résultat et d'une « belle » multiplication à poser, prouver que la quantité exacte de
grains de blé est : 18 446 744 073 709 551 615.
3) Dans 1m³, on peut ranger environ 1, 5 million de grains de blé. Le roi dispose d'un grand
grenier de 5 mètres de large sur 10 mètres de long. Quelle hauteur faut-il prévoir si l'on
désire stocker la quantité de grains de blé que recevra Sessa? Exprimer le résultat en km.
Comparer cette longueur à la distance de la Terre au Soleil.
4) Mais l'histoire finit mal pour le brahmane. L'arithméticien du roi conseille
d'enfermer Sessa dans son propre piège en lui demandant de compter lui-même les
grains de blé.
Sachant qu'il faudra 6 mois pour dénombrer 1m³, combien d'années faudrait-il pour
dénombrer l'ensemble de la récompense ?