Bonjour j’ai besoin d’aide sur ce devoir en probabilité géométrique terminale. Juste pour répondre à la partie 2. J’ai déjà répondu à la première:

La probabilité qu'un atome radioactif se désintègre par
heure est égale à p = 0,05. On décide chaque heure,
d'observer si cette désintégration a eu lieu, en limitant
le temps d'attente à 24 heures.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'heu-
res avant la première désintégration et on convient de
noter X = 0 lorsque, à l'issue des 24 heures, l'atome
n'est pas encore désintégré. Les valeurs possibles de
X sont donc les entiers de O à 24.
Partie 1 Loi de X
1. Expliquer pourquoi X ne suit pas une loi géométrique.
2. Calculer P(X = 1). P(X = 2) et P(X = 3).
3. Calculer P(X = k) pour1< k < 24 (on pourra utiliser
un tableur).
4. On pose q=1-p.
a. Vérifier que :
P(x=1) + P(X =2) +... + P(X = 24) = p(1+q+…. + q23)
b. En déduire que :
P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=24)=1-q24.
c. En déduire P(X = 0) en fonction de q.
d. En déduire la probabilité que l'on n'observe pas
de désintégration de l'atome dans les 24 heure*
d'observation.
Partie 2 Temps d'attente espéré
On considère la fonction f définie par pour tout réel
q appartenant à O; 1| par:
f(a)=1+q+q2+..
+ g24.
1. Montrer que f est dérivable sur 0;1.
2. Calculer f* (q) pour q € ]o ;1l.
1-025
3. Montrer que f(q) =
1-4
4. En déduire une autre expression de f(g) pour
g€l0:1.
5. En déduire que :
(1+29+347 +. +24023)=1-25g2* +24025
(1-4)7
puis que :
(1-9)(1+29+302+..+24073)=1-25024+24425
1-4
On souhaite calculer le nombre moyen d'heures d'at-
tente dans la journée avant d'observer la désintégration.
6. Vérifier, en utilisant la définition d'une variable aléa-
toire discrète, que :
E(X)=p(1+24+3q2+….+24g23).
7. Déduire de la question 5 l'expression de E(X) en
fonction de q.
8. Vérifier alors que le nombre moyen d'heures d'at-
tente dans la journée avant d'observer la désintégration
est environ 7h.
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