3. Résoudre un problème avec une fonction polynôme du second
degré
Un artisan fabrique des confitures qu'il vend par carton de dix pots.
Le coût en euros de fabrication de x cartons de dix pots est f(x) = 0, 25x² +500, pour x compris 0 et 160.
1) a) Déterminer le coût de fabrication de 60 cartons de dix pots de confiture.
b) Pour combien de cartons le coût de fabrication est de 2525 € ?
2) Chaque carton de confitures est vendu 30 €.
Exprimer la recette R(x) en fonction de x.
3) Soit B la fonction bénéfice définie sur l'intervalle [0; 160].
a) Montrer que, pour tout x € [0; 160] :
B(x) = -0,25x² + 30x-500
b) Montrer que, pour tout x € [0; 160]: B(x) = -0,25(x - 100) (x - 20).
4) Dresser les tableaux de signes et de variations de la fonction B.
5) Quel nombre de cartons doit vendre cet artisan si il veut réaliser un bénéfice positif?
6) Quel est le nombre de cartons à vendre pour que son bénéfice soit maximal? Calculer alors ce bénéfice.