CERCLE TRIGONOMETRIQUE SINUS ET COSINUS ➤ Exercice N°01 - La méthode d'Archimède PARTIE A - De quoi s'agit-il ? Le célèbre nombre TT s'écrit avec une infinité de chiffres après la virgule. Nous allons présenter une méthode, dont l'idée initiale est due à Archimède, pour obtenir une approximation de ce nombre. Cette méthode repose essentiellement sur les deux points suivants : Le périmètre d'un cercle de rayon 1 est égale à 2π, donc approximer ce périmètre revient à approximer T. . Ce périmètre est encadré par le périmètre de polygones inscrits et circonscrits au cercle, comme l'indique la figure ci- contre dans le cas d'hexagone réguliers. Ces hexagones sont obtenus à partir de six points réguliers répartis sur le cercle. On conçoit que l'encadrement du périmètre, donc du nombre π, sera d'autant plus précis que le nombre de côtés des polygones inscrit et circonscrit augmente. On note uo la longueur du côté de l'hexagone inscrit, u, la longueur du côté du polygone régulier inscrit à 12 cotés. On note vo la longueur du côté de l'hexagone circonscrit, v₁ la longueur du côté du polygone régulier circonscrit à 12 côtés. TD N°07 a. Démontrer que u₁ = √2-√√3, en utilisant le fait que sin( -) = 12 b. Démontrer que V₁ = 2 = 2tan(). (72). 12 PARTIE B - Quelques calculs 1. Démontrer que l'encadrement de π obtenu à partir d'hexagones réguliers est 3 < T < 2√√3. Indication: Calculer le périmètre de l'hexagone inscrit et celui de l'hexagone circonscrit. 2. On divise chacun des six arcs de cercle de la figure précédente en deux parties égales et on construit, comme dans le cas des hexagones, les polygones inscrits et circonscrits en traçant les douze cordes pour les polygones inscrits et les douze tangentes pour les polygones circonscrits. c. En déduire que v₁ = et que u₁ = 2 6√2-√3
