Activité sur les suites arithmétiques et géométriques :
Exercice 1:
Bordeaux Métropole, projet : « objectif 2030 »
Un million d'habitants en 2030 pour Bordeaux et sa communauté urbaine ? C'est le projet que lance Bordeaux Métropole en
En 2007, année de référence
partenariat avec l'institut national de statistiques (Insee).
pour ce projet, Bordeaux Métropole comptait 714 000 habitants.
Les Quatre pages Insee Aquitaine, septembre 2013.
Un scénario, établi sur la base d'une augmentation constante, prévoit une augmentation de la population de Bordeaux
Métropole de 11 800 personnes par an.
On note Un le nombre d'habitants de la communauté bordelaise en 2007 + n.
1)
Déterminer 4o, U et U2.
2)
Donner la relation de récurrence définissant la suite u.
On dit que la suite (un) est arithmétique de raison r = 11 800.
3) Calculer 2o et interpréter le résultat.
4)
Avec ce scénario, l'« objectif 2030 » sera-t-il atteint ? Vous justifierez par des calculs.
Exercice 2:
Dans l'antiquité, le roi des Indes demanda un nouveau jeu pour se distraire.
Son vizir
Sissa inventa le jeu d'échecs.
Le roi, ravi
de ce nouvel amusement lui demanda comment le récompenser. Sissa dit : « Je voudrais un peu de riz. Placez un grain de riz sur
la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grain de
riz. »
Le roi accepta cette demande qu'il trouva
bien modeste. Le conseiller s'écria : « Sire I Vous conduisez notre pays à la ruine ! »
Nous allons chercher à comprendre pourquoi le conseiller du roi réagit ainsi :
On note Un le nombre de grain de riz sur la n-iéme case de l'échiquier.
1) Donner la notation et la valeur des premier, deuxième, troisième et quatrième termes de la suite (Un).
2)
Donner la relation de récurrence définissant la suite v.
On dit que la suite (Vn) est géométrique de raison q = 2.
3) Déterminer le nombre de grain de riz que le roi doit placer sur la 10ème case.
4)
Sachant que l'échiquier contient 64 cases, expliquer la réaction du conseiller...
Pour répondre à cette dernière question, on peut programmer l'algorithme suivant (en langage python) qui donne la liste des
termes de la suite (0n) à compléter :
def liste termes) :
v=1
LelV
for k in range (1, 64) :
Les crochets indiquent que L est une liste qui ne contient que v c'est-à-dire 1
à ce stade
L. append (v)
Cette notation indique que l'on ajoute la nouvelle valeur de v dans la liste L
return(L)
Attention, on rappelle que dans « range » il faut ciouter 1 à la derniere valeur voulue. Ici, quand k vaut 1 on calcule le
nombre de grains sur la 2tme case, quand k vaut 2, on calcule le nombre sur la 3n* case donc pour le nombre de grains sur la
64ème case, k vaut 63. raison pour laquelle on met 64 dans « range ».