Bonjour, merci de penser à ajouter une formule de politesse quand tu postes un devoir.
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Résolution d'un système d'équations.
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Pour comprendre cet exercice, nous allons tout d'abord le modéliser par le système suivant:
[tex] \sf Soient \: \green{x} \: et \: \red{y} \: deux \: nombres \: relatifs. \\ \\ \sf \left \{ {{ \green{x}+ \red{y} =9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{1} \atop{ \green{x} \times \red{y}= - 70} \: \: \: \: \: \: \: \boxed{2}} \right. [/tex]
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Je te propose de résoudre ce système en appliquant la méthode de substitution qui qui consiste tout simplement à exprimer une des deux variables en fonction de l'autre dans une équation et à substituer cette expression dans l'autre équation.
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Première étape: J'exprime une des deux variables en fonction de l'autre.
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[tex] \boxed{1} \: \: \: \sf \green{x} + \red{y} = 9\Longleftrightarrow \green{x} = 9 - \red{y}[/tex]
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Deuxième étape: Je remplace la variable par son expression dans l'autre équation.
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[tex] \boxed{2} \: \: \: \sf \green{x} \times \red{y} = - 70\Longleftrightarrow \underbrace{ (9 - \red{y})}_{ \green{x}} \times \red{y} = - 70 \\ \\ \sf \implies9 \red{y} - \red{y}^{2} = - 70 \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \implies - \red{y}^{2} + 9 \red{y} + 70 = 0[/tex]
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Il s'agit ici d'une équation du second degré que je résous tout d'abord en calculant son discrimant.
[tex] \sf \pink{\Delta} = {b}^{2} - 4ac \\ \sf \pink{\Delta} = {9}^{2} - 4 \times ( - 1) \times 70 \\ \sf \pink{\Delta} = 81 - ( - 280) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \pink{\Delta = 361} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
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Le discrimant de l'équation étant supérieur à 0, je sais que l'admet admet deux racines réelles distinctes.
[tex] \sf \: x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{\pink{\Delta}}}{2a} \\ \\ \implies \sf \purple{x _1 }= \dfrac{ - b - \sqrt{\pink{\Delta}}}{2a} = \dfrac{ - 9 - \sqrt{\pink{361}}}{ 2 \times ( - 1)} \\ \\ \sf = \dfrac{ - 9 - 19}{ - 2} = \dfrac{ - 28}{ - 2} = \purple{ \boxed{14}} \\ \\ \\ \implies \sf\blue{x _2} = \dfrac{ - b + \sqrt{\pink{\Delta}}}{2a} = \dfrac{- 9 + \sqrt{\pink{361}}}{2 \times ( - 1)} \\ \\ = \sf \dfrac{ - 9 + 19}{ - 2} = \dfrac{10}{ - 2} = \blue{ \boxed{ \sf - 5}}[/tex]
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Par conséquent, nous avons deux réponses possibles:
[tex] \boxed{ \sf Soit \: \green{x = -5} \: et \: \red{y = 14} \: , \: Soit \: \green{x = 14} \: et \: \red{y = -5} .} [/tex]
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Vérifions nos réponses:
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14 + (-5) = 14 - 5 = 9
La somme de nos deux nombres est égale à 9. ✅
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14 × (-5) = -70
Le produit de nos deux nombres est égal à -70. ✅
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Bonne journée.
