En Inde, une légende vieille de 1500 ans raconte comment un Brahmane
(membre d’une caste religieuse) fut récompensé pour avoir inventé le jeu d’échec.
Le roi des Indes fut tant émerveillélorsque le Brahmane lui apprit le jeu que le roi lui proposa de choisir la récompense qu’il souhaitait.
Le Brahmane demanda alors la quantitéde grains de blé qu’il serait nécessaire pour remplir les 64 cases d’un échiquier en respectant la condition suivante, chaque case doit contenir deux fois plus de grains de bléque la précédente sachant que la première case ne contient qu’un seul grain.
Soit : 1 grain de blésur la première case 2 grains sur la seconde
4 grains (soit 2 fois 2) sur la troisième
8 grains (2 fois 2 fois 2) sur la quatrième
16 grains (2 fois 2 fois 2 fois 2) sur la cinquième etc ...
Le roi accepta la demande du Brahmane en se disant que celle-ci était plutôt modeste.
Mais lorsqu’un arithméticien résolut le problème, le roi se rendit compte que le Brahmane l’avait dupé et que la quantitéde grains de blé qu’il demandait était impossible à fournir.
1) a) Sur quelle case devrait-il y avoir 23 grains ? 28 grains ? 231 grains ?
b) Quelle quantitéde grains est-il nécessaire pour remplir tout l’échiquier ? Donner le résultat comme somme de puissances de 2. On pourra utiliser des «... »pour ne pas écrire tous les termes.
2) a) Vérifier que les expressions suivantes sont vraies : 1 + 2 = 22 - 1
1 + 2 + 22 = 23 - 1
1 + 2 + 22 + 23 = 24 – 1
b) En fait, cette formule est vraie pour tout entier n : 1+ 2 + 22 + 23 + ...+ 2n−1 = 2n −1 Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 1) b).
c) En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l’échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique.
d) La calculatrice ne permet pas de calculer la valeur exacte 264. Mais il est possible d’obtenir celle de 232.
3) A l’aide du résultat précédent et d’une « belle »multiplication àposer, prouver que la quantité exacte de grains de bléest dix-huit quintillions quatre cent quarante-six quadrillions sept cent quarante-quatre trillions soixante-treize milliards sept cent neuf millions cinq cent cinquante et un mille six cents quinze.
4) Dans 1 m3, on peut ranger environ 1,5 million de grains de blé. Le roi dispose d’un grand grenier de 5 mètres de large sur 10 mètres de long. Quelle hauteur faut-il prévoir si l’on désire stocker la quantitéde grains de bléque recevra Sessa ? Exprimer le résultat en km.
Comparer cette longueur àla distance de la Terre au Soleil !!!
Mais l’histoire finit mal pour le brahmane. L’arithméticien du roi conseille d’enfermer le Brahmane dans son propre piège en lui demandant de compter lui-même les grains de blé.
5) Sachant qu’il faudra 6 mois pour compter 1 m3, combien d’années lui faudrait-il pour dénombrer l’ensemble de sa récompense ? Comparer ce temps avec l’âge de l’univers.
