Exercice 1 On considère la suite (tn) définie sur N par to = 2 et pour tout entier naturel n, tn+1 = On admet que pour tout entier naturel n, tn > 0. tn +2 2tn +1 1. (a) Calculer t₁, t2, t3, t4. On pourra en donner une valeur approchée à 10-2 près. (b) Vérifier que si n est l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors tn - 1 a le même signe que (-1)". (c) Établir que pour tout entier naturel n, tn+1 -1 = -tn +1 2tn +1 (d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, tn - 1 a le même signe que (-1)" tn-1 2. Pour tout entier naturel n, on pose un = tn +1 (a) Établir que pour tout entier naturel n, un+1 (b) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison En déduire l'expression de un en fonction de n. -tn +1 3tn +3 2 1 + Un 1-Un (c) On admet que pour tout entier naturel n, tn= Exprimer tn en fonction de n et déterminer la limite de la suite (tn). Exercice Partie I lectures graphiques f désigne une fonction définie et dérivable sur R. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée f'. Courbe de la fonction dérivée A 1 3 Partie II: étude de fonction La fonction f est définie sur R. par f(x) = ln (x²+x+· Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes 1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction f en 0. 2. (a) Donner les variations de la fonction dérivée f'. (b) En déduire un intervalle sur lequel f est convexe. -31). 1. Déterminer une expression f'(x) de la fonction dérivée de f pour tout à € R. 2. En déduire les variations de f. 3. Résoudre l'équation f(x) = 0. 4. La fonction f' est dérivable sur R. Retrouver que, pour tout x ER, f"(x) = Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de f. -2x² - 2x x²+x+
