Raisonnement par l’absurde pas-à-pas
L’objectif de cet exercice est de montrer que le réel √2 n’appartient pas à l’ensemble des rationnels, c-à-d
qu’il ne se s’écrit pas sous la forme

avec a et b entiers. On dit que √2 est irrationnel
Partie A :
1. Soit un entier relatif. Développer l’expression suivante : (2 + 1)²
2. On considère un nombre impair, on peut alors l’écrire sous la forme = 2 + 1 avec un entier
relatif.
Montrer que ² est un nombre impair
3. Soit un nombre dont le carré est pair. Expliquer pourquoi ne peut-il pas être impair ?
4. Que peut-on conclure des résultats précédents
Partie B :
1. On suppose que √2 est rationnel. Expliquer pourquoi on peut écrire √2 =


avec
(
′ − à −
′ )
2. Montrer que
2 = 2²
3. En déduire que ² est pair, puis que est pair
4. Justifier qu’on peut écrire = 2 avec
5. En remplaçant dans l’égalité
2 = 2², montrer alors que ² est pair
6. Que peut-on en conclure sur ?Montrer que ce résultat est en contradiction avec un résultat
précédemment obtenu. Conclure