Une entreprise fabrique du parfum dont le coût
total de production, par jour, en centaine d'euros,
est modélisé par la fonction C définie sur ]0; 50] par :
C(x) = 0,5,2 + 2r + 200 pour r litres de parfum.
Le prix de vente d'un litre de parfum est de 2 500 €
1. a) Montrer que la recette est modélisée par la fonc-
tion R définie sur J0; 50] par R(x) = 25x.
b) Exprimer le bénéfice B(r) en fonction de x.
c) Déterminer la quantité de parfum à produire pour
que le bénéfice soit maximum.
2. Le coût moyen de production d'un litre de parfum,
quand on en produit x litres, est modélisé par la fonc-
tion Cy telle que Cn(4) = S(*) sur J0;501.
x
a) Dresser le tableau de variations de la fonction Cy.
b) En déduire la quantité de parfum à produire pour
obtenir un coût moyen minimum de production.
3. Le coût marginal de production est le supplément
de coût total induit par la production d'un litre sup-
plémentaire de parfum. Il est modélisé par la fonction
Cm telle que Cm (x) = C(r + 1) - C(x) sur J0; 50].
a) Déterminer le coût marginal pour une production
de 20 L de parfum, c'est-à-dire l'augmentation du coût
total de production pour passer de 20 L à 21 L.
b) Calculer C'(20). Comparer avec le résultat précédent.

4. En pratique, on assimile le coût marginal de pro-
duction à la dérivée du coût total.
a) Déterminer Cm(x) sur J0; 50].
b) Préciser la convexité de la fonction C sur J0; 50].
c) Résoudre l'équation CM(*) = Cm (x) sur J0 ; 50].

MATHS
& ECONOMIE
• Le coût moyen de production est le coût engendré
en moyenne par la production d'une unité.
• Le coût marginal est le coût additionnel induit par
la production d'une unité supplémentaire.
Il est souvent défini, si la fonction coût est dérivable,
par sa dérivée : C.
-m (x) = C'(x).
C(r + 1) - C(x)
En effet, Cm (r) =
taux d'accroisse-
(x+1) - x
ment de la fonction C entre x et x + 1.
Un chef d'entreprise rationnel ne produit que tant
que le prix de vente est supérieur au coût marginal.

Je ne comprends absolument rien