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En 2019, le maire d'une ville a fait comptabiliser
le nombre de mégots ramassés dans la rue principale. Sur
l'ensemble de l'année, le nombre de mégots ramassés est
de 20 000.
Souhaitant que ce nombre diminue fortement, le maire fait
voter en conseil municipal une loi instaurant une amende
de 160 € par mégot laissé par terre.
Des statisticiens ont prévu, sur une période de 10 ans, une
diminution du nombre de mégots jetés par terre de 15%
par an grâce à cette amende.
Sous cette hypothèse, pour tout entier naturel n, on appelle un
le nombre de mégots jetés par terre pendant l'année 2019 + n.
Ainsi, u, est le nombre de mégots jetés par terre en 2019.
On a u₁= 20 000.
1. Justifier par le calcul que u, = 17 000. Interpréter ce résultat
dans le contexte de l'énoncé.
2. a. Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier.
b. Donner l'expression de u,, en fonction de n.
c. Calculer le nombre de mégots qui, selon ce modèle,
seraient jetés par terre en 2028. Arrondir le résultat à l'unité.
3. Le maire souhaite savoir combien de mégots seraient
ramassés par les agents municipaux de 2019 à 2028.
a. Exprimer la somme que le maire doit effectuer pour trouver
ce nombre en fonction des termes de la suite (un).
b. Trouver alors le nombre de mégots ramassés.