Lycée 1ère générale spé
De nombreux peintres et architectes de la Renaissance italienne ont évoqué l'existence d'un rectangle aux proportions "idéales", vérifiant la propriété suivante :
《Lorsque l'on ôte au rectangle considéré un carré construit sur sa largeur, on obtient un nouveau rectangle, plus petit, dont les dimensions sont proportionnelles à celles du rectangle d'origine, c'est-à-dire que les rapports longueur sur largeur sont les mêmes.》
Un tel rectangle est appelé rectangle d'or.
1) On suppose que le rectangle ABCD ci-contre est un rectangle d'or.
On note L et l la longueur et la largeur du rectangles avec L>l.
a) Démontrer que la construction du rectangle d'or ABCD conduit à l'égalité : l/L = (L-l)/l
b) On pose k = L/l. Démontrer que k est la solution de l'équation : x²-x-1=0.
c) Résoudre l'équation : x²-x-1=0.
d) En déduire l'unique valeur possible pour k.
commentaire : Ce nombre est appelé nombre d'or (ou divine proportion) et se note p.
e) Préciser la valeur exacte de p et sa valeur arrondie au millième.
commentaire : On vient donc de prouver que: "Si un rectangle est un rectangle d'or, alors L/l= p".
On admet que la réciproque de cette propriété est vraie, à savoir : "Si un rectangle est tel que L/l=p, alors il s'agit d'un rectangle d'or ".
2) Un algorithme de construction
-Soit ABCD un carré de longueur a.
-Soit I le milieu de [AB].
-Le cercle de centre I et de rayon IC coupe le demi-droite [AB) en E.
-Contruire le rectangle AEFD.
a) Calculer la longueur IC en fonction de a.
b) En déduire que AE/AD=p. Que peut-on dire du rectangle AEFD ? Et de cet algorithme de construction ?
3) Puissance successives du nombre d'or :
Justifier que p²=p+1, puis démontrer que p³=2p+1.
En déduire p⁴ et p⁵ en fonction de p.
