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Exercice 1:
En fonction depuis 1990 le télescope spatial Hubble a été remplacé en 2021.

Pour un satellite en orbite
basse donné, le temps (en jours) avant la rentrée atmosphérique dépend des caractéristiques du satellite et de l'altitude x (en km) de son orbite.

Pour Hubble, ce temps est modélisé par la fonction f de la variable x définie sur [0; +♾️[ par :f(x)=0,003104 e0,025x.

1) À son lancement, Hubble avait une orbite située à une altitude x de 595 km.

a) Calculer le temps f(x) qui restait alors avant son entrée atmosphérique. Arrondir au jour près.

b) En déduire quelle aurait dû être l'année de désorbitage du télescope.

2)
a) Déterminer la dérivéef de la fonction f.

b) En déduire le sens de variation de f.

3) On estime qu'augmenter l'altitude de 10 km revient à prolonger de 28% le temps restant avant la
rentrée atmosphérique du télescope.

Cette augmentation de l'altitude aura-t-elle été suffisante pour que le télescope spatial Hubble
reste en orbite jusqu'en 2021?

Exercice 2:

Une société souhaite tester un nouveau détecteur qui per-
met de mesurer la désintégration de noyaux radioactifs.

On modélise le nombre de noyaux radioactifs (en milliards)
présents dans un échantillon au bout de heures après le
début du test à l'aide de la fonction f définie sur [0; +♾️[
par f(t)=1500e-0,06t

1. En utilisant la représen-
tation graphique ci-contre,
conjecturer la limite de la
fonction f en +∞o.

2. Calculer f'(t).

3. En déduire les variations
de la fonction f sur [0;+∞[.

4.a. Calculer le nombre de noyaux présents dans l'échan-
tillon radioactif 24 heures après le début du test. On arrondira à l'unité.

b. Au bout de combien d'heures le nombre de noyaux
radioactifs deviendra-t-il inférieur à la moitié du nombre
de noyaux initialement présents dans l'échantillon?

On utilisera le tableau de valeurs de la calculatrice et on
arrondira à l'heure près.

c. Déterminer la limite de f en +♾️ et l'interpréter.