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Soient a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne arithmétique de a et b le
a+b
nombre , et moyenne géométrique de a et b le nombre √ab. Le but de ce problème
est de montrer de deux façons différentes l'inégalité arithmético-géométrique :
satborde
2
√ab ≤
Partie A: méthode algébrique
Expliquer pourquoi (√a + √b)² – (√a - √b)² ≤ (√a + √5)², puis en déduire l'inégalité
arithmético-géométrique.
Partie B: méthode géométrique.
Soit [BH] un segment de longueur a, et [HC] un segment de longueur b, tels que le point
H soit sur le segment [BC]. Soit C le cercle de diamètre [BC]. Soit A un point
d'intersection de C et de la perpendiculaire à (BC) passant par H.
1. Faire un dessin avec a = 3 et b = 5.
2. Démontrer que les triangles AHB et CHA sont semblables.
3. En déduire AH en fonction de a et b.
4. Soit O le milieu de [BC]. Exprimer OA en fonction de a et b.
5. Déduire des questions 3 et 4 l'inégalité arithmético-géométrique.
