DM 2: Approximation de π par la méthode d'Archimède. Pour déterminer une valeur approchée de π, Archimède eu l'idée de construire des polygones inscrits et circonscrit autour d'un cercle. Ainsi, l'aire des polygones fournit un encadrement de l'aire de du cercle. En choisissant un rayon de 1, le cercle a une aire qui vaut π et l'aire des polygones fournit donc un encadrement de .
Archimède propose d'utiliser les polygones dits réguliers, dont les côtés ont même longueur. C' Partie 1: Avec des hexagones On rappelle qu'un tour complet correspond à 360°.
a. Combien mesure l'angle AOB? b. Soit H le milieu de [AB]. Montrer que le triangle OAH est rectangle. c. Que vaut l'angle AOH en degré ?
.
a. En utilisant les relations trigonométriques dans les triangles rectangles, calculer AH puis OH.
Rappel : dans le triangle OAH rectangle en H, on a sin (AOH): AH = et OA D D cos (AOH) = E' E B B LL F Vérifier que vous retrouvez le même encadrement qu'avant, en prenant n = 6.
Quel encadrement obtient-on pour n = 100, n = 1000, n = 10000 ? 8' H OH OA b. En déduire l'aire du triangle OAH, puis l'aire An du polygone ABCDEF. 3.
a. On considère l'homothétie (agrandissement) de centre O qui transforme OAB en OA'B'.
Quel est son coefficient d'agrandissement ? (Remarque : cette transformation transforme aussi H en K.) K
b. On rappelle que pour un agrandissement de rapport k, les aires sont multipliées par k².
En déduire l'aire de An du polygone A'B'C'D'E'F'.
c. Quel encadrement de π cela fournit-il ? Partie
2: Avec un polygone régulier à n côtés Au lieu de prendre un hexagone (6 côtés), on va considérer que l'on a n côtés, pour une valeur de n indéterminée. Plus n sera grand, plus les polygones vont s'approcher du cercle, et meilleure sera l'approximation de π. Refaire la partie 1 mais en gardant n à la place 6. Ainsi, vous aurez tous les résultats en fonction de n. A'
