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Bonjour je suis en première et je n’arrive pas cette exercice voici l’énoncé

Dans un repère orthogonal du plan, on donne la droite A
d'équation y = x + 1, et les courbes représentatives des
fonctions f et g définies sur R par :
1
f(x)=
1/4x²-3x + 13 et g(x) = -x² + 12x - 27
On note Cf la courbe de f, et Ch, la courbe de g.
1) Identifier Cf, et Cg, en justifiant.

2) a) Etudier le signe de f(x) - (x + 1)

b) En déduire les positions relatives de la courbe C, et de la droite A (c'est-à-dire préciser sur quel(s)
intervalle(s) la courbe C, est au-dessus de la droite delta et sur quel(s) intervalle(s) C est en-dessous de DELTA).

3) Etudier les positions relatives des courbes Cf et Cg, préciser les coordonnées de leurs points d'intersection

Sagot :

Mozi

Bonjour,

1 ) voir PJ - Cf en vert / Cg en bleu.

(Δ) y = x + 1 en rouge

f et g sont deux polynômes de second degré.

Le coefficient directeur de f est positif, f admet donc un minimum (Cf est convexe).

Le coefficient directeur de f est négatif, g admet donc un maximum (Cg est concave).

2.a ) f(x) - (x + 1) = x²/4 - 3x + 13 - x - 1 = x²/4 - 4x + 12

⇒ f(x) - (x + 1) = (x/2)² - 2 (x/2) × 4 + 16 - 4 = (x/2 - 4)² - 2²

⇒ f(x) - (x + 1) = (x/2 - 4 + 2) (x/2 - 4 - 2)

⇒ f(x) - (x + 1) = (x/2 - 2) (x/2 -6)

⇒ f(x) - (x + 1) = (x - 4) (x - 12) / 4

f(x) - (x + 1) est donc négatif entre les racines, positif à l'extérieur.

f(x) - x + 1 ≤ 0 si x ∈ [4 ; 12] et f(x) - (x + 1) ≥ 0 si x ∈ ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[

2.b) f(x) - x + 1 ≤ 0 si x ∈ [4 ; 12] et f(x) - (x + 1) ≥ 0 si x ∈ ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[

ce qui équivaut à f(x) ≤ x + 1 si x ∈ [4 ; 12] et f(x) ≥ (x + 1) si x ∈ ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[

Soit Cf est au-dessous de (Δ) sur [4 ; 12] et Cf est au dessus de (Δ) sur ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[

3 ) f(x) - g(x) = x²/4 - 3x + 13 + x² - 12x + 27

⇔ f(x) - g(x) = 5x²/4 - 15x + 40

⇔ f(x) - g(x) = 5/4 (x² - 12x + 32)

⇔ f(x) - g(x) = 5/4 (x² - 12x + 36 - 2²)

⇔ f(x) - g(x) = 5/4 ((x - 6)² - 2²)

⇔ f(x) - g(x) = 5/4 (x - 4) (x - 8)

Cf est donc au dessus de Cg sur ]-∞ ; 4] U [8 ; +∞[ et au dessous de Cg sur [4 ; 8]

Les points d'intersection sont (4 ; 5) et (8 ; 5)

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