170 Une famille de courbes
BAC
Pour tout nombre entier naturel non nul n, on note f, la fonction définie
sur R par f(x) = xex. On note 6,, sa courbe représentative dans le plan
muni d'un repère orthogonal.
Sur le graphique ci-contre, on a représenté une courbe , où k est un
nombre entier naturel non nul, sa tangente T au point d'abscisse 1 et
la courbe €3.
L'objectif du problème est de déterminer la valeur de k telle que la droite
T coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées
(3:0).
1. a. Déterminer les limites de la fonction f₁ en -∞ et
en +00.
b. Étudier les variations de la fonction f₁ et dresser son
tableau de variations.
c. À l'aide du graphique, justifier que k est un nombre
entier supérieur ou égal à 2.
2. a. Démontrer que si n> 1, alors toutes les courbes
passent par le point O et un autre point dont on déter-
minera les coordonnées.
Ck
j
0
63
Tk
b. Vérifier que, pour tout nombre entier naturel n supé-
rieur ou égal à 2 et pour tout nombre réel x, on a :
f'(x)=x-1(n-x)e-*.
3. Sur le graphique, la fonction f3 semble admettre
un maximum atteint pour x = 3. Valider cette conjecture
à l'aide d'une démonstration.
4. a. Déterminer les coordonnées du point d'intersec-
tion de la droite T avec l'axe des abscisses.
b. En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur
du nombre entier k.