Bonjour, j'ai des exercices à faire pour la semaine prochaine mais je ne les réussi pas. je sais pense qu'il faut utiliser la récurrence mais je ne réussis pas.
Voici l'énoncé :
soit deux suites (Un) et (Vn) définies par
[tex]U_{0} = 2 \: et \: V_{0} = 10[/tex]
et pour tout entier naturel n,
[tex]U_{n + 1} = \frac{2Un +Vn}{3} [/tex]
et
[tex]V_{n + 1} = \frac{Un + 3Vn}{4} [/tex]
1.a. Montrer que pour tout entier naturel n,
[tex]V_{n + 1} - U_{n + 1} = \frac{5}{12} (Vn - Un).[/tex]
b. Pour tout entier naturel n on propose Wn = Vn - Un.
Montrer que pour tout entier naturel n:
[tex]Wn = 8{( \frac{5}{12} ) }^{n} .[/tex]
2.a. Démontrer que la suite (Un) est croissante et que la suite (Vn) est décroissante.
b. Déduire des résultats des questions 1.b et 2.a que pour tout entier naturel n on a
[tex]Un \leqslant 10 \: et \: Vn \geqslant 2.[/tex]
c. En déduire que les suites (Un) et (Vn) ont la même limite.
4.a Montrer que la suite (Tn) définie par
[tex]Tn = 3Un + 4Vn[/tex]
est constante.
b. En déduire que la limite commune des suites (Un) et (Vn) est
[tex] \frac{46}{7} .[/tex]
Merci beaucoup d'avance de votre aide.
