Ex 5. Citadins et ruraux.
On suppose que, sur une période donnée, la population d'un pays est constante et égale à 60
millions d'habitants, dont 40 millions vivent en zone rurale et 20 millions en ville.
On constate que les mouvements de population sont décrits par la règle suivante : chaque année,
20% des ruraux émigrent à la ville et 10 % des citadins regagnent la campagne.
On note respectivement V, et R, les effectifs en millions des citadins et des ruraux au bout de n
années (V0=20 et R0= 40).

1) Montrer que pour tout 20, on a :
Vn+1=0.9 Vn +0.2 Rn
Rn+1=0.1 Vn+0.8 Rn

2) Calculer les 5 premiers termes des suites (Vn) et (Rn).

3) Que vaut Vn+Rn ?

4) En déduire que les suites (Vn) et (Rn) vérifient :
Vn+1 = 0.7 Vn + 12 et
Rn+1= 0.7 Rn +6

5) On pose un= Vn-40. Prouver que (un) est une suite géo de raison 0.7.

6) En déduire une formule directe pour un puis pour Vn et Rn.

7) D'après ces formules, quelle sera la répartition des citadins et ruraux à très long terme ?