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Exercice 2: Démontrer que √2 est irrationnel
Méthode Pour démontrer par l'absurde, on prend comme hypothèse la négation de la proposition à démon- trer et on en déduit une contradiction.
On suppose que √√2 est un nombre rationnel, c'est- à-dire qu'il s'écrit sous forme irréductible Р où p et 9 q sont des nombres entiers naturels non nuls.
1. a) Justifier qu'alors p² = 2q².
b) En déduire la parité de p².
2. a) Compléter le tableau en pièce jointe indiquant le dernier chiffre de p² en fonction de celui de p. 0 2 0 4
b) En déduire les derniers chiffres possibles de p². 3.
Construire de même un tableau indiquant le dernier chiffre de 2q² en fonction de celui de q.
4. a) Comme p² = 2q², déterminer le dernier chiffre de p et les derniers chiffres possibles de q.
b) est-il irréductible ? Conclure.
