Exercice 7 (bénéfice max - courgettes -d°3)

Une entreprise produit et vend des courgettes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes. On note C(x) le coût de production, exprimé en euros, de x tonnes de courgettes. La fonction C est donc définie sur 0; 16 et elle est donnée par : Cx-x³-15x²+78x-650 Chaque tonne de courgettes est vendue 150 euros. La recette pour x tonnes vendues est donc 150 x On rappelle que le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production.

1. Vérifier que le bénéfice B x s'exprime par : B x=-x³+15x²+72x+650.

2. On admet que la fonction Best dérivable sur [0; 16 et on note B'sa dérivée. Déterminer B'(x).

3. Montrer que B'(x)=-3x+2)(x-12) pour x appartenant à [0; 16).

4. À l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe de B' x sur l'intervalle 0; 16] et en déduire le tableau de variation de la fonction B sur (0; 16).

5. Quelle quantité de courgettes l'entreprise doit-elle produire et vendre pour avoir un bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?​