Exercice 2: Famille de fonctions

On considère les fonctions foet g définies sur R par :
f(x) = x*exp(-x) et
g(x) = exp(-x)

Pour tout réel k, on note fk la fonction définie sur IR par:
f(x) = (x + k)exp(-x) .



Partie A

1. Faire une conjecture sur les variations de fo.

2. Etudier les variations de la fonction fo.



Partie B Soit k un nombre réel.

1. Vérifier que fivérifie l'égalité : fk'(x) + f(x) = e¯*.

2. a. Montrer que sur IR la fonction fadmet un maximum en x = 1 - k.
b. On note Mkle point de la courbe correspondant à ce sommet. Montrer que Mest un point de la courbe C.
c. Placer sur le graphique ci-dessous M₂etM3.

3. Déterminer la valeur de k telle que
f(1) = 2 (famille illustrée par la courbe de c'=[k).

4. Dans cette question, toute trace de recherche sera valorisée. On souhaite que la tangente au point d'abscisse 0 à la courbe Icoupe l'axe des abscisses au point A (3;0).
Quelle valeur de k faut-il alors choisir ? ​