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Exercice I Soit f la fonction définie par : f(x) = cos(x) Etudier la parité de la fonction f Montrer que: VxeR f(x+2) = f(x) Déduire que la fonction f est périodique ​

Sagot :

Sapin2Paques

Bonjour, voici la réponse à ton exercice :

· Étude de la parité

[tex]\forall x\in \mathbb{R}[/tex],

[tex]f(-x) = cos(-x) = cos(x)[/tex]

[tex]= > f(-x) = f(x)[/tex]

Donc la fonction [tex]f[/tex] est paire.

· Étude de la périodicité

[tex]\forall x\in \mathbb{R}[/tex],

[tex]f(x + 2\pi ) = cos(x + 2\pi) = cos(x)[/tex]

[tex]= > f(x + 2\pi ) = f(x)[/tex]

En effet, en utilisant le cercle trigonométrique, en considérant la fonction [tex]cos(x) = \alpha[/tex], on prend n'importe quel [tex]\alpha[/tex] et on lui fait un tour complet (donc [tex]k2\pi[/tex], [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]), on retrouvera ce même [tex]\alpha[/tex].

Donc la fonction [tex]f[/tex] est [tex]2\pi[/tex]-périodique.

En espérant t'avoir aidé au maximum !

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